.: L'ORIGINE DEI I NOMI DELLE CLASSI VIRTUALI :.

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.: L'origine dei nomi delle classi virtuali :.

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Tale curva fu però inizialmente studiata da Eulero nel 1700 in risposta a un problema posto da Giacomo Bernoulli.

In seguito fu utilizzata nel 1800 da Marie-Alfred Cornu, professore di fisica all'Ecole Politechnique di Parigi, nelle sue ricerche sulla diffrazione

Alla fine degli anni '70 si scoprì che la clotoide era l'ideale per rovesciare verticalmente le persone, mentre prima si era sempre ritenuto logico pensare, per tale scopo, ad una circonferenza. Peraltro, nelle configurazioni circolari degli otto volanti, all'inizio il carrello sale rapidamente, generando una forza centrifuga eccessiva per i suoi passeggeri; al contrario, quando il carrello sta per raggiungere il punto più alto della circonferenza, la sua accelerazione diminuisce in modo tale da far correre il rischio ai suoi occupanti di cadere a testa in giù.

Per fortuna ecco .......la clotoide che con la sua forma consente un'accelerazione tale da portare sani e salvi gli occupanti nuovamente con i piedi a terra.

Il principio su cui si basa la sorprendente curva è il raggio variabile del suo anello.
Si comprende facilmente tale principio pensando alla rotazione di un peso legato ad una cordicella:esso ruoterà più lentamente se la corda si allunga, più velocemente se la si accorcia (la potenza descrittiva del principio di conservazione del momento angolare!!!).

L'arco di clotoide, con la sua curvatura variabile, in ogni punto direttamente proporzionale alla lunghezza dell'arco stesso (calcolata dall'origine), costituisce il raccordo più razionale tra un rettifilo e una curva circolare e come tale viene utilizzato nelle costruzioni stradali e ferroviarie: la forza centrifuga varia infatti linearmente nel tempo, a velocità costante, dal valore zero (in rettifilo), a valore massimo (in curva) e viceversa.

Le equazioni parametriche della clotoide sono date dai cosidetti "integrali di Fresnel".

Le due spirali, simmetriche rispetto all'origine degli assi, hanno la caratteristica di tendere a due punti asintotici.

           Concoide, curva dalla forma di conchiglia.

        Proclo (410-485 d.C.), matematico e filosofo, vissuto ad Alessandria
        ed Atene scrisse:
        "Nicomede risolse il problema della trisezione dell'angolo rettilineo
         mediante le curve concoidi, delle quali scoprì le proprietà, e determinò
         la generazione, l'ufficio e le qualità caratteristiche".

Nel 1600 quando fiorirono le ricerche sui nuovi metodi della geometria analitica e dell'analisi, la concoide fu una curva assai popolare, tanto che Newton suggerì di considerarla come una specie di curva "di servizio".

Tra le sue applicazioni citiamo, in architettura, il disegno dei fusti delle colonne

Come vedete si tratta di una vasta categoria di curve, e si possono creare a piacimento concoidi relative a curve base differenti, con risultati interessanti.

La concoide del cerchio, rispetto ad un punto sulla sua circonferenza, è la lumaca di E.Pascal.
Se la costante è uguale al diametro del cerchio, la concoide diventa una cardioide.

La concoide di Nicomede ha come curva di riferimento una retta, con il punto fisso sulla retta;nella curva rappresentata in figura il valore della costante k è maggiore della distanza del punto fisso dalla retta.

            "Baculum sine nodo aduncum, quem lituum appellarunt"
        Un bastone ricurvo senza nodi, che chiamarono lituo:
        così Tito Livio descrive il lituus, bastone portato in processione dagli
        àuguri, dalla tipica forma a manico ricurvo.

Anche il pastorale dei vescovi e degli abati, impugnato con la sinistra e
con la parte aperta del manico rivolta verso i fedeli, ha la stessa forma.

Alla curva matematica, rappresentata in figura, fu così dato
il nome di lituo dal matematico Maclaurin nel 1722 nella
sua opera Harmonia Mensurarum.

Il gesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733), geniale matematico, la chiamò tromba e in effetti Orazio e Virgilio indicano con il nome lituus una tromba di ottone ricurva verso il fondo.

        Ne La vita del ragno J.H.Fabre, attento ed acuto osservatore
    della natura in tutte le sue espressioni, dice: "in una ragnatela,
    a causa della loro igroscopia, i fili (con la rugiada del mattino),
    sono carichi di goccioline, e piegandosi sotto il peso, sono
    divenute altrettante catenarie".

Nella figura viene mostrata la curva catenaria, descritta da una catena appesa, sovrapposta alla parabola risultante quando alla catena si appendono dei tiranti, che sorreggono un ponte sospeso.

Galileo che era riuscito a dimostrare che la triettoria di un proiettile, in assenza di resistenza dell'aria, è una parabola, studiando la curva di sospensione di una catenella flessibile o di una fune, credette di avere scoperto un'altra applicazione della parabola, ma era in errore.
Un matematico tedesco, Jungius, dimostrò nel 1669 che la curva non era una parabola.

Fu, poi, Huygens, insieme a Leibniz e Jean Bernoulli, che in risposta ad una sfida posta da Jacques Bernoulli, dimostrò nel 1690-91 che tale curva, battezzata da Huygens catenaria, era una curva non algebrica.

Vicino al vertice la catenaria e la parabola sono quasi coincidenti, ed è quindi comprensibile l'errore di Galileo.

Le due curve sono diverse se sono costituite da materiale pesante: nella catenaria la distribuzione del peso della catena è uniforme per ogni lunghezza di arco; nei ponti sospesi invece, dove alla catena sono appesi i tiranti che sostengono il piano del ponte, la distribuzione del peso è uniforme per unità orizzontale di lunghezza e la curva descritta è una parabola.
Nei grandi ponti sospesi, dove il peso delle catene è dello stesso ordine di grandezza del piano stradale, la curva risultante è a metà tra la parabola e la catenaria.

Nella catenaria agiscono soltanto sforzi di trazioni; non sono presenti sforzi di flessione.

Proviamo ora a rovesciare una catenaria.

La curva così ottenuta viene usata molto in architettura. Infatti, in una catenaria rovesciata compaiono soltanto sforzi di compressione; perciò essa rappresenta la forma migliore che può assumere un arco per sostenere il proprio peso, così come la parabola rappresenta la forma migliore che può assumere un arco per sostenere un carico uniforme.

Dopo la scoperta della catenaria e delle sue proprietà, nel XVIII secolo fiorirono molti studi per le sue applicazioni pratiche: ad esempio Christopher Wren usò una struttura a catenaria per la costruzione della cupola di St Paul a Londra.

Curiosità: se facciamo rotolare una parabola lungo una retta il fuoco della parabola descrive una catenaria.

La cardioide, un nome usato per la prima volta da Castillon in un articolo su Philosophical Transactions of the Royal Society del 1741.

La sua lunghezza e' stata trovata da La Hire nel 1708, ed egli percio' ha un certo diritto ad essere nominato come lo scopritore della curva. E' un caso speciale della lumaca Pascal e percio', in un certo senso, il suo studio va indietro nel tempo molto prima di Castillon o La Hire.

Richiamo teorico: L'inviluppo può essere pensato come un modo di derivare una nuova curva basata su una famiglia di curve dipendenti da un parametro. L'inviluppo di una famiglia di curve è una curva C tale che C è tangente a ciascun elemento della famiglia. (Ricorda che due curva sono tangenti l'una con l'altra in un punto se in quel punto hanno una tangente comune.)

La cardioide appartiene ad una famiglia di curve chiamate spirali sinusoidali, che hanno equazione:

Gino Loria - Curve piane speciali algebriche e trascendenti, teoria e storia - Hoepli

Collignon, Nicola. La Geometria delle Curve applicata alle arti ed all'industria. Tipografia